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La décision de financement et le cout du capital

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La décision de financement

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La décision de financement et le cout du capital
CHAPITRE N° 4 LA DÉCISION DE FINANCEMENT ET LE COÛT DU CAPITAL
La décision d’investir étudiée dans les trois chapitres précédents, est directement rattachée à la décision de financement : une fois les projets rentables identifiés, l’entreprise doit décider du moyen de financement qu’elle va employer parmi tous ceux qui existent. Ce choix dépend d’une part du coût de la source choisie et d’autre part des possibilités de financement laissées à la firme étant donnée sa structure financière actuelle (rapport dettes/fonds propres).

I. Sources et modes d’évaluation des coûts des financements à long terme.

I.1 Les différentes sources de financement à long terme

L’entreprise peut avoir recours à plusieurs sources de financement, qui sont globalement classées en :

  • sources de financement par fonds propres : il peut s’agir soit de l’autofinancement, soit des augmentations de capital ;
  • et autres sources de financement : on trouve dans cette catégorie une grande diversité de financements possibles tels que les dettes, les subventions reçues, le crédit-bail ou leasing, les financements mezzanines…
I.1.1.   Le financement par fonds propres

Les bailleurs de fonds concernés ici, sont les actionnaires. Ils sont appelés « créanciers résiduels », car le revenu qui leur revient, est constitué par les flux économiques retirés des investissements, diminués de l’ensemble des payements contractuels promis à  toutes  les autres catégories de bailleurs de fonds, soient essentiellement :

  • les intérêts dus aux banquiers et aux obligataires ;
  • les loyers dus aux leasers ;
  • les quotes-parts sur les subventions d’investissement obtenues de la part de l’Etat et réintégrées dans l’état de résultat

En contrepartie de ce risque, les actionnaires bénéficient d’un pouvoir de contrôle sur la politique menée par les dirigeants, matérialisé par un droit de vote aux assemblées générales.
Notons cependant, que tous les actionnaires ne sont pas identiques, puisqu’il existe outre les actions ordinaires, offrant un droit au dividende et un droit au vote :

  • des actions à dividende prioritaire (ADP) : les porteurs de ces titres bénéficient d’un avantage de rendement sous forme d’un dividende prioritaire (payable avant toute autre affectation du bénéfice distribuable) qui ne peut être inférieur au premier dividende des actions ordinaires, ni à un montant fixé lors de l’émission de l’AD Toutefois, en contrepartie du dividende prioritaire, ces actionnaires perdent le droit de vote aux assemblées générales ;
  • des certificats d’investissement (CI) : ils représentent les droits pécuniaires attachés à l’action, les droits de vote et de présence au niveau des assemblées générales étant représentés par des certificats de droit de vote (CDV) émis à part. La création de certificats d’investissement peut résulter soit du fractionnement d’actions existantes, soit d’une augmentation du capital.

Créés pour permettre aux entreprises d’augmenter leurs fonds propres tout en limitant la dilution du pouvoir, ces titres démunis de droit de vote, offrent souvent à leurs détenteurs, une rémunération supérieure à celle d’une action ordinaire, en guise de compensation de la perte du pouvoir de contrôle. Toutefois, en matière de valorisation, il est difficile de généraliser en disant que ces titres sont systématiquement plus chers que les actions ordinaires, du seul fait qu’ils offrent une rémunération plus élevée et moins incertaine : ce serait en effet ignorer la valeur du droit de vote et la décote de liquidité sur les marchés boursiers qui caractérise souvent ces titres moins demandés que les actions ordinaires.

I.1.2.   Les autres sources de financement

Il s’agit essentiellement du financement par dettes. Les dettes se différencient entre elles par leur durée, leur taux d’intérêt et leur mode de remboursement. Dans tous les cas, il s’agit d’un engagement contractuel contenant des garanties au profit du prêteur. Ainsi, contrairement à l’actionnaire qui peut perdre la totalité de sa mise en acceptant de financer un projet, le prêteur est protégé par un contrat qui lui assure le remboursement de son capital et une rémunération fixe ou variable sous forme d’intérêts.
Outre les différences provenant de leurs caractéristiques contractuelles, on distingue classiquement entre les dettes accordées par les banques et celles souscrites sur les marchés boursiers :

  • les premières sont appelées emprunts indivis, dans le sens où la dette contractée l’est auprès d’un seul prêteur. En général, ce type d’emprunt est spécialisé et le financement accordé est accompagné d’une prise de garantie ;
  • les secondes sont appelées emprunts obligataires, du fait que la dette contractée est

morcelée en parts égales (obligations) souscrites par plusieurs épargnants. Ces parts, sont des contrats financiers qui précisent les obligations de l’emprunteur à l’égard des prêteurs, notamment les modalités de rémunération et de remboursement du capital prêté. En général, les emprunts obligataires sont assortis d’une notation accordée par une agence de rating.

I.2.  Principe général d’évaluation des sources de financement à long terme

Le coût de financement est directement lié à la rémunération qui est exigée par celui qui apporte les capitaux. Cette rémunération dépend à son tour de l’incertitude qui pèse sur le versement à effectuer par l’entreprise, c’est à dire du risque encouru par celui qui amène les capitaux. Aussi, il n’existe pas à proprement parler un financement « plus avantageux » qu’un autre, mais une gamme de financements possibles, dont les coûts différenciés traduisent simplement les différents niveaux de risque encourus par chaque catégorie de bailleurs de fonds.
Ainsi défini, le coût du capital représente le taux limite pour l’affectation du capital aux projets d’investissement. Dans ce sens, il représente le taux de rendement nécessaire pour justifier l’utilisation du capital. Par conséquent quelque soit l’origine du capital, la formule qui sera utilisée pour en déterminer le coût, sera identique à celle qui permet le calcul du TRI, soit l’égalisation à un moment donné des entrées de fonds avec les sorties ; les modèles basés sur ce genre de logique, sont appelés des modèles d’équilibre.
Bien entendu, dans un marché financier parfaitement concurrentiel, deux sources de financement qui ont un niveau de risque identique, doivent nécessairement avoir le même coût et ceci, en raison des opérations d’arbitrage qu’une différence de coût ne manquerait pas de provoquer.

II. Les modèles d’évaluation des capitaux propres

Les capitaux propres peuvent provenir soit du réinvestissement de tout ou partie des bénéfices de la société (autofinancement) soit de l’émission de nouvelles actions (implicitement ordinaires, dans le cadre du présent cours).
Si les actionnaires choisissent délibérément de ne pas distribuer la totalité des bénéfices sous la forme de dividendes, c’est qu’ils espèrent retirer des fonds laissés à la disposition de l’entreprise, une rentabilité qui est au moins égale à celle que pourraient leur procurer des placements assortis d’un risque équivalent. Par conséquent, le coût des réserves ou fonds réinvestis, est un coût d’opportunité qui correspond au coût des capitaux recueillis par une augmentation du capital.
Le coût des actions ordinaires, peut être estimé de deux manières :

  • à l’aide des modèles d’actualisation des dividendes ;
  • ou en référence au PER, le Price Earnings Ratio.
II.1.  Les modèles d’actualisation des dividendes

Pour l’acheteur d’un titre donné, la valeur de l’action est la valeur actuelle du flux des recettes attendues. Donc en t = 0, la valeur d’une action donnée, est :
P0 = D1 / (1 + kc) + D2 / (1 + kc)2 + … + Dn / (1 + kc)n + Pn / (1 + kc)n
où :

  • P0 = la valeur de l’action en t = 0 ; c’est son cours
  • Dt = le dividende anticipé par action, pour la période t
  • Pn = la valeur de revente de l’action au bout de n périodes
  • kc = la rentabilité espérée par l’actionnaire (supposée la même pour tous).

Notons que le taux kc, outre le fait qu’il constitue dans sa lecture la plus évidente, un temps d’actualisation des flux futurs, constitue un coût de capital pour l’entreprise qui bénéficie de fonds apportés.
Supposons maintenant que l’on veuille revendre cette action ; Pt, le prix de revente, est alors :
Pt = Dt+1 / (1 + kc)1 + Dt+2 / (1 + kc)2 + … + Dn+m / (1 + kc)m + Pn+m / (1 + kc)m
⇒      P0 = D1 / (1 + kc) + D2 / (1 + kc)2 + … + Dn / (1 + kc)n + Dn+1 / (1 + kc)n+1
+ Dn+2 / (1 + kc)n+2 + … + Dn+m / (1 + kc)n+m + Pn+m / (1 + kc)n+m
Si cette opération est répétée à l’infini (n ∼> ∞), il n’y a plus lieu de parler de prix de revente et l’investisseur reçoit indéfiniment des dividendes, de telle sorte que : P0 = Σ Dt / (1 + kc)t
La formule que nous venons d’écrire, est en fait complexe, car elle implique une incertitude à plusieurs niveaux : une incertitude sur les cash-flows futurs (les dividendes anticipés), une incertitude sur le taux d’actualisation, et enfin une incertitude sur le prix de revente quand la durée de détention de l’action est finie. En définitive, seul P0 est connu.
Pour résoudre ces difficultés, plusieurs hypothèses simplificatrices ont été émises par différents chercheurs, qui ont été à l’origine de plusieurs modèles d’évaluation des dividendes. Nous en considérerons trois, qui sont :

  • le modèle de Gordon et Shapiro (1956) ;
  • le modèle d’Ezra Solomon (1963) ;
  • et le modèle de Georges Bates (1960).
II.1.1.   Le modèle de Gordon et Shapiro

Afin de lever l’incertitude qui pèse sur les dividendes futurs, Gordon et Shapiro supposent que les dividendes de l’entreprise ont un taux de croissance, g, constant (et une politique de distribution régulière) :
Dt = Dt1.(1 + g)
Le modèle général, devient dès lors :
P0 = D1 / (1 + kc) + D1.(1 + g) / (1 + kc)2 + … + D1.(1 + g)n-1 / (1 + kc)+ Pn / (1 + kc)n
⇒     P0 = D1 / (1+ kc).[1 + (1 + g) / (1 + kc) + … + (1 + g)n1 / (1 + kc)n-1] + Pn / (1 + kc)n
⇒     P0 = [D1 / (1 + kc)].[1 – [(1 + g) / (1 + kc)]n] / [1 – [(1 + g) / (1 + kc)]+ Pn / (1 + kc)n
⇒     P0 = [D1 / (kc – g)].[1 – [(1 + g) / (1 + kc)]n + Pn / (1 + kc)n
Si n ∼> ∞ et si g < kc, c’est à dire, si le taux de croissance des dividendes est moins élevé que
le coût des fonds propres de l’entreprise, alors nous avons :
et : [(1 + g) / (1 + kc)]n ∼> 0 Pn / (1 + kc)n ∼> 0
⇒      P0 = D1 / (kc – g)
⇒      kc = (D1 / P0) + g
Cette écriture met en évidence les deux composantes du coût des fonds propres, à savoir :

  • une composante explicite qui est le rendement anticipé de l’action (D1 / P0) ;
  • et une  composante  implicite,  généralement  plus  importante,  qui  correspond  à  la croissance anticipée des dividendes (g).

La formule de Gordon et Shapiro peut être exprimée en fonction des bénéfices de la manière suivante, en notant d, le taux de distribution (constant) des bénéfices, Bt :
Dt = d.Bt            t
⇒      kc = (B1.d / P0) + g
Dans le cas particulier où le taux de croissance des dividendes est nul (g = 0), les dividendes sont constants, et on a :
kc = D1 / P0

II.1.2.   Le modèle d’Ezra Solomon

L’hypothèse de croissance constante des dividendes de Gordon et Shapiro ayant été fortement critiquée dans la littérature financière, Ezra Solomon démontre, qu’elle est au moins plausible dans le cas où l’entreprise répond aux conditions suivantes :

  • r = le taux de rendement des investissements, est constant ;
  • b = le taux de rétention des bénéfices, est constant ;
  • l’entreprise assure sa croissance uniquement par autofinancement. Soient :
  • Bt = le bénéfice de la période t, avec t = 1, …, n
  • Dt = le dividende de la période t, avec t = 1, …, n

⇒      Dt = (1 – b).Bt                           t = 1, …, n
Soit It, l’investissement de la période t, correspondant à la partie du bénéfice non distribuée en t-1 :
It = b.Bt1
Le bénéfice additionnel dû à cet investissement supplémentaire est donc égal à :
Bt –  Bt1 = r.b.Bt1
⇒      Bt = (1 + r.b).Bt1
⇒      Dt / (1 – b) = (1 + r.b).Dt1 / (1 – b)
⇒      Dt = (1 + r.b).Dt1
Cette équation, reflète la croissance constante des dividendes. Elle signifie que les dividendes suivent une progression géométrique, de raison g telle que g = r.b.
Si nous remplaçons g par r.b, et D1 par B1.(1 – b), dans le modèle de Gordon et Shapiro, nous obtenons :
kc = [B1.(1 – b) / P0] + r.b
 
Conclusion, l’hypothèse de croissance constante des dividendes, peut en pratique se réaliser, lorsque le taux de rendement des investissements et le taux de rétention sur les bénéfices sont constants et que l’entreprise ne se finance que par réinvestissement des bénéfices (pas de dettes et pas d’augmentation de capital). Ceci revient à dire que le modèle de Gordon et Shapiro n’est en fait applicable qu’aux sociétés en stade de maturité qui ont une croissance stabilisée. Son usage fréquent en pratique pour des sociétés en stade de croissance, notamment lors des introductions en bourse, est donc totalement inadéquat.

II.1.3.   Le modèle de Georges Bates ou modèle mixte bénéfices-dividendes

Le modèle de Georges Bates généralise les deux modèles précédents. Il pose :

  • dt = le taux de distribution des bénéfices sur la période t, ∀ t = 1, …, n
  • gt = le taux de croissance des bénéfices sur la période t, ∀ t = 1, …, n
  • kc = le taux de rendement exigé par le marché, supposé constant

Nous avons alors :
B1 = B0.(1 + g1)
B2 = B1.(1 + g2) = B0.(1 + g1).(1 + g2)
...
Bn = Bn1.(1 + gn) = B0.(1 + g1).(1 + g2) … (1 + gn)
⇒      D1 = d1.B1 = d1.B0.(1 + g1)
D2 = d2.B2 = d2.B0.(1 + g1).(1 + g2)
...
Dn = dn.Bn = dn.B0.(1 + g1).(1 + g2) … (1 + gn)
Par conséquent, le cours à l’instant 0 devient :
P0 =  B0.[d1.(1 + g1) / (1 + kc) + … + dn.(1 + g1).(1 + g2) … (1 + gn) / (1 + kc)n+ Pn / (1 + kc)n
Le modèle de Georges Bates, est le modèle le plus général de tous les modèles d’évaluation du coût des fonds propres par les méthodes d’actualisation des dividendes. Seulement, cette complexité, fait que l’expression de P0 contient plusieurs inconnues, qui sont : g1, g2,…, gn ; d1, d2,…dn et kc. Pour résoudre l’équation, il faut réduire le nombre d’inconnues en supposant que :

  • le taux de distribution des bénéfices, dt, est constant = d ;
  • le taux de croissance des bénéfices, gt, est constant =

Or, cette simplification réduit finalement le modèle de Bates à celui de Gordon et Shapiro !
P0 = B0.d.(1 + g) / (1 + kc).[1 + (1 + g) / (1 + kc) + … + (1 + g)n1 / (1 + kc)n1+ Pn / (1 + kc)n

II.1.4.   Insuffisances des modèles d’actualisation des dividendes

Les méthodes d’évaluation du coût des fonds propres par les modèles d’actualisation des dividendes, souffrent de plusieurs insuffisances, qui sont les suivantes :

  • elles nécessitent la connaissance du prix P0, et ne concernent donc, que les sociétés cotées en bourse ;
  • dans la réalité, plusieurs entreprises cotées ont pour stratégie de ne jamais distribuer de dividendes. Pourtant, leurs titres n’ont aucune difficulté à rencontrer des acheteurs ;
  • les  méthodes   d’actualisation   des   dividendes   sont   enfin   basées   sur   un   taux d’actualisation  unique  qui  ne   varie   pas  dans   le   temps.   Cette  hypothèse   est particulièrement éloignée de la réalité.
II.2.  L’utilisation du Price Earnings Ratio (PER)

Le PER d’une action se définit comme étant le rapport du cours de l’action sur le bénéfice qu’elle rapporte. Pour déterminer ce ratio, nous allons repartir du modèle de Gordon et Shapiro :
P0 = D1 / (1 + kc) + D1.(1 + g) / (1 + kc)2 + … + D1.(1 + g)n1 / (1 + kc)+ Pn / (1 + kc)n
Or :
D1 = d.B1 = d.B0.(1 + g)
⇒      P0 = B0.d.(1 + g) / (1 + kc).[1 + (1 + g) / (1 + kc) + … + (1 + g)n1 / (1 + kc)n1] + Pn  / (1 + kc)n
⇒      P0 / B0   = d.(1 + g) / (1 + kc).[1 – [(1 + g) / (1 + kc)]n] / [1 – [(1 + g) / (1 + kc)]
+ [Pn / Bn].[Bn / (1 + kc)n].[1 / B0]
Sachant que :
Bn = B0.(1 + g)n
⇒      PER0 = d.(1 + g) / (1 + kc).[1 – [(1 + g) / (1 + kc)]n] / [1 – [(1 + g) / (1 + kc)] + PERn.[(1 + g) / (1 + kc)]n
Si n ∼> ∞ et si g < kc, cette formule se simplifie pour donner :
PER0 = d.(1 + g) / (kc – g)
Cette formule permet d’obtenir de manière explicite les variables déterminantes du PER d’une société ; plus précisément, le PER est une fonction :

  • croissante du taux de croissance des bénéfices ;
  • croissante de la capacité de distribution des dividendes, c’est à dire la rentabilité des investissements ;
  • et décroissante du taux d’actualisation, c’est à dire du risque de la société.

A partir de cette expression du PER, nous pouvons tirer l’expression du coût des fonds propres, kc / :
kc = [d.(1 + g) / PER0] + g
Si on suppose que g = 0, on obtient :
kc = d / PER0
expression, qui est souvent (abusivement) approximée sur les marchés boursiers par :
kc 1 / PER0

III. Les modèles d’évaluation des dettes

Que l’emprunt soit indivis ou obligataire, il existe quatre façons de le rembourser, appelées modes d’amortissement : constant, in fine, par annuités constantes ou à coupon-zéro.
L’amortissement constant.
Ce mode d’amortissement tient son nom du fait que le principal remboursé chaque période (généralement l’année) est constant. La conséquence directe de ce choix est que les intérêts3, eux, vont diminuer au fur et à mesure que le capital est remboursé, ce qui implique que les annuités (capital + intérêts) versées au prêteur, diminuent elles aussi avec le temps.
Lamortissement in fine.
Dans ce cas, la totalité du capital emprunté est remboursée en une seule fois, à la date d’échéance du prêt. Pendant toute la durée du prêt, l’emprunteur ne paye que des intérêts, c’est à dire l’usage du capital. Quand le taux d’intérêt est fixe, le montant est le même chaque année. Il s’y rajoute le capital, la dernière année du remboursement.
L’amortissement par annuités constantes.
Ce type d’amortissement permet d’avoir des annuités identiques à chaque période. Le capital se réduisant chaque année, les intérêts ne peuvent que croître, pour maintenir constante la somme totale décaissée annuellement.
3 Nous n’aborderons dans le cadre de ce cours que les emprunts à taux fixe.
L’amortissement à coupon-zéro.
L’emprunteur ne verse rien au prêteur pendant toute la durée de l’emprunt. A l’échéance, il rembourse le capital initial augmenté des intérêts capitalisés. En fait, tout se passe comme si le capital restant dû à chaque période s’alourdissait des intérêts courus.
Quelque soit le mode de remboursement adopté, l’évaluation du coût d’un emprunt se détermine, comme pour le capital, par le recours aux modèles d’équilibre basés sur l’égalisation à un moment donné des entrées et sorties de fonds. Dans le cas d’un financement par dette :

  • les entrées de fonds sont le principal de la dette encaissé par l’entreprise à l’instant 0 ;
  • les sorties de fonds, sont les intérêts et le remboursement du capital qui doivent avoir lieu entre la première année et la date d’échéance.

Notons que le coût de la dette est un coût explicite qui est plus facile à déterminer, que le coût des fonds propres, étant donné que le taux d’intérêt et le montant du capital à rembourser, ainsi que la durée de l’emprunt sont tous connus d’avance.

III.1.  Coût d’un emprunt indivis en absence d’imposition

Considérons une entreprise qui contracte une dette D0, qu’elle rembourse sur n années. Le taux d’intérêt nominal annuel, est de i et les intérêts sont payés annuellement en fin de période. On note par kd, le coût de la dette. Le modèle d’équilibre implique :
D0 = i.D0 / (1 + kd)1 + i.D0 / (1 + kd)2 + … + i.D0 / (1 + kd)n + D0 / (1 + kd)n
⇒      1 – (1 + kd)n   = i.[1 – (1 + kd)n1 – kd / (1 + kd)] / [kd / (1 + kd)]
⇒      1 – (1 + kd)n   =  (i / kd).[1 – (1 + kd)n]
Si (1 + kd)-n 1
⇒      kd = i
Ainsi, le coût de la dette est indépendant du montant emprunté et correspond au taux d’intérêt, la rentabilité exigée par la banque prêteuse.

III.2.  Coût d’un emprunt indivis en présence d’imposition.

Nous allons compliquer ici la situation précédente, en supposant que l’entreprise est imposable à l’impôt sur les sociétés (IS) au taux τ. Dans ce cas, étant donné que l’entreprise
paie des intérêts qui sont comptabilisés en charges, son bénéfice imposable va être diminué du montant des intérêts. Ainsi, l’entreprise ne paye pas en réalité i.D0, mais plutôt, i.D0.(1 – τ).
Par conséquent :
D0 = i.D0.(1 – τ) / (1 + kdτ)1 + i.D0.(1 – τ) / (1 + kdτ)² +…+ [i.D0.(1 – τ) + D0] / (1 + k τ)n
⇒       kdτ = i.(1 – τ)
Conclusion, en présence d’impôts, le coût de la dette de l’entreprise diminue. Il devient par ailleurs, différent de la rentabilité exigée par la banque.

III.3.  Coût d’un emprunt obligataire en absence d’imposition
  • Notation et tableau d’amortissement

Considérons un emprunt obligataire caractérisé par les paramètres suivants :

  • C = la valeur nominale par titre
  • R = la valeur de remboursement par titre
  • E = la valeur d’émission par titre
  • N = le nombre de titres émis
  • n = le nombre d’années de remboursement
  • i = le taux d’intérêt nominal ou facial
  • c = C.i = le montant du coupon annuel
  • µp = le nombre de titres remboursés la pe année
  • ap = l’annuité de la pe année

Le tableau de remboursement de cet emprunt dans le cadre général se présente comme suit :

 
Période
 
Intérêts
Remboursement
du principal
 
Annui
Titres restant en circulation
en fin de période
1 I1 = N.c µ1.R a1 = µ1.R + N.c N1 = N – µ1
2 I2 = N1.c µ2.R a2 = µ2.R + N1.c N2 = N1 – µ2
p Ip = Np-1.c µp.R ap = µp.R + Np-1.c Np = Np-1 – µp
p + 1 Ip+1 = Np.c µp+1.R ap+1 = µp+1.R + Np.c Np+1 = Np – µp+1
n In = Nn-1.c µn.R an = µn.R + Nn-1.c Nn = Nn-1 – µn = 0
III.3.2.   Détermination du coût de la dette

Sur la base du modèle d’équilibre, le coût de la dette kd, se détermine de la manière suivante :
N.E = a1 / (1 + kd) + a2 / (1 + kd)² + … + an / (1 + kd)n
Si les annuités sont constantes (a1 = a2 = … = an = a), cette équation se simplifie en :
N.E = a.[1 – (1 + kd)n] / kd
Cette équation est problématique dans le sens où, outre kd, l’annuité a est inconnue ; il faut donc en déterminer la valeur… Pour ce faire, on procède par itération, de  la  manière suivante :
1ère année :
N1 = N – µ1
⇒      N1.R = N.R – µ1.R
Or, par définition, l’annuité est la somme du capital remboursé et des intérêts payés, soit :
a1 = µ1.R + N.c
⇒      µ1.R = a1 – N.c
⇒      N1.R = N.R – (a1 – N.c) = N.R – a1 + N.c
⇒      N1.R = N.R.(1 + c / R) – a1
⇒      N1.R = N.R.(1 + r) – a1  avec : r = c / R
Le taux r est appelé taux d’intérêt apparent et nous avons :
c / R = C.i / R
Or :      C / R < 1
⇒      C.i / R < i
⇒      r < i
2e année :
N2 = N1 µ2
⇒      N2.R = N1.R – µ2.R
Or, sachant que :
a2 = µ2.R. + N1.C
⇒      N2.R = N1.R – a2 + N1.C
⇒      N2.R = N1.R (1 + r) – a2
⇒      N2.R = (N – µ1).R.(1 + r) – a2. = N.R.(1 + r) –µ1.R.(1 + r) – a2
⇒      N2.R = N.R.(1 + r) -(a1 + N.c).(1 + r) – a2
⇒      N2.R = N.R.(1 + r) – a1.(1 + r) + N.c.(1 + r)- a2
⇒      N2.R = (1 + r).[N.R.(1 + r)] – a1.(1 + r) – a2
⇒      N2.R = N.R.(1 + r)2 – a1.(1 + r) – a2
n année :
Nn.R = 0
⇒      N.R.(1 + r)n – a1.(1 + r)n1 – a2.(1 + r)n2 – …. – an1.(1 + r) – an = 0
⇒      N.R.(1 + r)n = a1.(1 + r)n1 + a2.(1 + r)n2 + …. + an1.(1 + r) + an = 0
⇒      N.R = a1 / (1 + r)1 + a2 / (1 + r)2 + …. + an1 / (1 + r)n1 + an / (1 + r)n
Si les annuités sont constantes, on obtient :
N.R = a.[1 – (1 + r)n] / r
En reprenant l’expression de N.E, quand les annuités sont constantes :
N.E = a.[1 – (1 + kd)n] / kd
⇒      N.E = N.R.[[1 – (1 + kd)n] / kd].[r / [1 – (1 + r)n]]
⇒      E = R.(r / kd).[1 – (1 + kd)n] / [1 – (1 + r)n]
Cette relation nous permet de déterminer le taux kd qui est en même temps coût de la dette pour la société et rendement offert aux obligataires. On notera par ailleurs, que le nombre de titres émis N, n’intervient nulle part dans cette équation.

Remarque :

Cette situation de base peut être compliquée de plusieurs manières possibles en rajoutant sur les flux ci-dessus, des frais divers, tels que des frais de dossier, des frais d’émission, des frais de remboursement… A titre d’exemple, si l’entreprise supporte des frais d’émission d’une valeur, f, par titre, le coût de la dette, devient kd’ tel que :
E – f = R.(r / kd).[1 – (1 + kd)n] / [1 – (1 + r)n]
Notons que dans ce cas, le coût de l’endettement pour l’entreprise, kd’, n’est plus égal au taux de rendement exigé par les bailleurs de fonds, kd.

III.3.3.   Détermination de la relation entre deux annuités consécutives

En reprenant l’emprunt initial, en absence d’impôts sur les bénéfices, on peut développer la relation mathématique qui existe entre deux annuités consécutives, de la manière suivante :
ap+1 – ap   = µp+1.R. + Np.c – µp.R. – Np1.c = µp+1.R. – µp.R. + c.(Np – Np1)
= µp+1.R. – µp.R. – c. µP = µp+1.R. – (c + R)µp
⇒      ap+1 – ap = µp+1.R. – µp.R.(1 + c / R)
Si les annuités sont constantes, ap+1 – ap = 0 :
⇒      µP+1 = µp.(1 + r)
µp est alors une suite géométrique de raison (1 + r).

III.4.  Impact de l’imposition sur le coût de l’endettement obligataire

Si l’entreprise est imposable au titre de ses bénéfices, elle réalise des économies d’impôt, non seulement sur les intérêts payés annuellement, mais également sur les primes d’émission et de remboursement offertes aux obligataires et d’une manière générale, sur l’ensemble des frais qu’elle supporte au titre de cet emprunt.
Selon le système comptable tunisien, les frais et primes relatifs aux emprunts obligataires sont considérés comme des charges financières qui doivent être amorties sur la durée de vie de l’emprunt au prorata des intérêts courus. Cette disposition permet à l’entreprise d’imputer à chaque exercice une charge financière correspondant à la partie non remboursée de l’emprunt.
L’ensemble de ces économies vient en déduction du montant de l’annuité effective de chaque exercice et permet en définitive à l’entreprise de réduire son coût d’endettement réel.

III.4.1.   Détermination des économies d’impôt

Si  nous  reprenons  le  tableau  d’amortissement  ci-dessus,  nous  pouvons  en  déduire  les incidences fiscales des différentes charges financières :
 

Etapes de calcul du coût de la dette.

Le coût de la dette k τ, se détermine de la manière suivante en fonction des  annuités effectives :
N.E = a1‘ / (1 + kdτ) + a2‘ / (1 + kdτ)² + … + an‘ / (1 + kdτ)n
qui nécessitent elles-mêmes la connaissance :

  • du nombre de titres remboursés chaque année : quand les annuités sont constantes, celui-ci peut être déterminé sur la base des deux formules suivantes :

µP+1 = µp.(1 + r) et         µ1 + µ2 + … + µn = N

  • et du montant des intérêts payés chaque année : une fois que l’on dispose du nombre de titres remboursés, on en déduit celui restant dû à la fin de chaque année, et par suite, le montant des intérêts à payer. Une fois ces calculs achevés, on peut alors calculer les prorata d’amortissement des primes d’émission et de remboursement.

IV. Des  coûts  spécifiques  au  coût  global  :  l’approche  par  le  coût  moyen pondéré

Nous avons jusque là considéré la nature des différentes sources de financement auxquelles peut avoir recours la firme (essentiellement des fonds propres et des dettes), et nous en avons évalué le coût séparément.
En réalité, les entreprises n’ont pratiquement jamais recours de manière exclusive à l’une ou l’autre de ces deux sources de financement. Le coût du capital de l’entreprise, est dès lors, un mélange du coût des fonds propres et de celui des dettes.
Ce coût global k, est appelé coût moyen pondéré du capital, et est obtenu en pondérant le coût des différentes sources de financement par leur contribution respective dans la structure de financement :
k = kc.C / (C + D) + kd.D / (C + D)
où :

  • C = le montant total des capitaux propres
  • D = le montant total des dettes

Cette écriture peut être transformée en posant L = D/C, de la manière suivante :
k = kc / (1 + L) + kd.L / (1 + L) et le coût de capital k, ainsi défini, est :

  • d’une part, la rentabilité globale exigée par l’ensemble des bailleurs de fonds de l’entreprise, correspondant au risque que ces investisseurs estiment courir, en offrant des capitaux à celle-ci ;
  • et d’autre  part,  le  seuil  de  rentabilité  minimal  exigé  sur  l’ensemble  des  projets d’investissement de l’entreprise.

Notons toutefois, que cette conclusion ne peut être tirée et que l’approche du coût global du capital ne peut être faite par l’utilisation du coût moyen pondéré, que si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées :

  • les coûts des fonds propres et des dettes sont indépendants l’un de l’autre ;
  • et le montant des fonds propres est indépendant de celui des dettes.

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