Ensembles et Fonctions de Production

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Chapitre 4 : Ensembles et Fonctions de Production
I- Représentation des exigences techniques de la production
Le producteur est limité par l’état des techniques disponibles. Avec des quantités données des facteurs (x1,…..,x1,…..,xn) il ne peut obtenir plus d’une certaine quantité d’output : y.
Cette contrainte technologique peut être représentée par l’exigence que le n+1
vecteur (x1,…, xn ; y) doit appartenir à un sous-ensemble de IR+ : z = (x1, …, xn ; y) ∈ Z ⊂ IR n+1
Les points situés sur la frontière des possibilités de production correspondent à des productions techniquement efficaces. L’efficacité technique signifie qu’il est impossible d’obtenir plus d’output avec les mêmes quantités d’inputs ou le même output avec moins d’inputs.
La fonction f qui définit la frontière de l’ensemble de production est appelée fonction de production.
Notons qu’il est parfois nécessaire d’ajouter des restrictions supplémentaires pour représenter la contrainte technologique.

II- Caractérisation des fonctions de production

1- Productivité moyenne d’un facteur

La productivité moyenne d’un facteur est le rapport entre la quantité d’output et la quantité du facteur qui a servi à la produire.

Si la fonction de production est à un seul facteur y = f(x),
Si la fonction de production est à plus d’un facteur, deux par exemple, la productivité moyenne d’un facteur est définie en fixant l’autre ou les autres facteurs :

La productivité moyenne en un point de la fonction de production est représentée géométriquement par la pente de la droite qui lie ce point à celui correspondant à la non utilisation de ce facteur de production.
Lorsque la fonction de production est concave, la productivité moyenne est décroissante. Au contraire si la fonction de production est convexe, la productivité moyenne est croissante.

La productivité marginale

La productivité marginale d’un facteur est le supplément d’output entraîné par une unité supplémentaire de ce facteur.

Dans le cas d’une fonction de production à un seul facteur, la productivité marginale est mesurée par le rapport Δf(x)/Δx . En notation continue, la productivité marginale mesure l’accroissement de la production entraîné par un accroissement infinitésimal du facteur de production, c’est à dire la dérivée de la fonction de production : Pm = y ‘ = df (x)/ dx

Dans le cas de plusieurs facteurs, la productivité marginale du facteur i est égale à la dérivée partielle de la fonction de production par rapport au facteur i : Pmi = f i’ = ∂f(x1*,…….x,i*,……x.*n)/∂xi*

La concavité de la fonction de production implique la décroissance de la productivité marginale, et la productivité moyenne est en tout point supérieure à la productivité marginale.
La convexité de la fonction de production a des implications contraires.

3- Isoquantes

Nous allons supposer, pour simplifier, que la production résulte de la combinaison de deux facteurs :
y=f(x1, x2)
Une isoquante (ou un isoquant) est le lieu géométrique de toutes les combinaisons de facteurs correspondant à un même niveau d’output.
a. Les techniques de production à proportionnalités fixes : Pour produire une unité d’output il faut au moins « a » unités du premier facteur et « b » unités du second.

Cette spécification de la fonction de production signifie que si on ne dispose que de « a » unités du premier facteur on ne produirait qu’une unité de l’output même si le deuxième facteur est disponible en quantité illimitée. Il n’y a donc pas de substitution entre les facteurs de production qui sont ainsi appelés complémentaires.

b. Les techniques de production qui permettent de compenser la diminution d’un facteur par l’augmentation d’un autre, pour obtenir le même niveau de production. La fonction de production est dans ce cas dite à facteurs substituables. L’isoquante est alors représentée par une courbe continu

Les facteurs de production étant substituables, on peut définir un taux marginal de substitution des facteurs. Plus précisément, on définit le taux marginal de substitution du facteur 2 au facteur 1 comme l’accroissement nécessaire du facteur 2 pour compenser une diminution infinitésimale du facteur 1 en vue d’assurer le même niveau de production.

TMS2/1 =dx2 / –dx1 de sorte que dy = 0.

Le taux marginal de substitution des facteurs est similaire au taux marginal de substitution entre biens de consommation. Pour les distinguer, on parle parfois de taux marginal de substitution subjectif et de taux marginal de substitution technique pour qualifier successivement la substitution entre produits de consommation et entre facteurs de production. Mais lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, il suffit de parler de taux marginal de substitution, le contexte permettant de saisir s’il s’agit d’un taux subjectif ou d’un taux technique.
Le taux marginal de substitution du facteur 2 au facteur 1 est positif.
Le TMS du facteur 2 au facteur 1 est égal au rapport des productivités marginales du facteur 1 au facteur 2. En effet, le TMS correspondant à un déplacement le long d’une isoquante, on peut écrire que les variations des facteurs dx1 et dx2 sont telles que la variation du produit dy = 0.

4- Elasticités :

On distingue deux types d’élasticité : une élasticité de la production par rapport à un facteur de production et une élasticité de substitution entre facteurs pour une production donnée.
a-On définit l’élasticité de la production par rapport à un facteur i comme la variation relative de la quantité produite rapportée à la variation relative du facteur, tous les autres facteurs étant constants.
Pour une variation quelconque du facteur de production, l’élasticité est donnée par la formule :
ei =(Δy/yi)/(Δx/xi)

5- Rendements d’échelle

Jusqu’ici, nous nous sommes intéressés à la sensibilité de la production à une variation de la quantité utilisée d’un facteur, quand tous les autres facteurs sont maintenus constants. On peut cependant être intéressé par les conséquences d’une variation simultanée de tous les facteurs. Par exemple, on peut s’interroger sur ce qu’adviendra de la production d’une usine de chaussures si on double les machines, le cuir, les bâtiments, la main-d’œuvre et tous les autres inputs ? Une telle question se réfère aux rendements d’échelle, c’est à dire aux conséquences de la variation de l’échelle de production. Les rendements d’échelle ont donc trait à la sensibilité de la production à une variation proportionnelle de tous les facteurs.
Formellement il est possible d’identifier les situations suivantes de rendements d’échelle :
Lorsque le processus de production est techniquement simple et standardisé, il est souvent possible de s’étendre en répétant à l’identique une unité de production existante. Ainsi la multiplication des intrants entraîne une multiplication du même ordre de la production. De tels processus de production sont caractérisés par des rendements d’échelle constants.
Il arrive cependant qu’une fonction de production ne recense pas tous les facteurs qui contribuent à la production d’une manière ou d’une autre. Par exemple, le travail du propriétaire d’une petite entreprise n’est pas pris en compte dans la fonction de production. De même certaines immobilisations, comme la terre, peuvent ne pas être explicitement considérées parmi les facteurs de production. Lorsque de tels facteurs non pris en compte dans la fonction de production sont disponibles en quantités limitées, le passage à une échelle de production supérieure se heurtera au- delà d’un certain niveau à la contrainte de rareté de ces facteurs. La multiplication des autres intrants entraînera alors un accroissement moins que proportionnel du produit. Dans ce cas, les rendements d’échelle sont décroissants. On dit aussi qu’on est présence de déséconomies d’échelle. Une autre raison de déséconomies d’échelle, ou de décroissance des rendements d’échelle, réside dans les conséquences négatives du gigantisme sur la gestion et l’organisation.
Il a été en effet observé que lorsque les entreprises s’étendent à plusieurs lignes de production et à des marchés géographiquement dispersés, elles rencontrent des difficultés croissantes de gestion et d’organisation de sorte que le rendement des facteurs devient inférieur à celui de leurs concurrents plus petits mais bénéficiant d’une plus grande souplesse.
La deuxième raison qui explique l’existence de rendements d’échelle croissants est liée à la spécialisation que permet la production à grande échelle. En effet, une entreprise individuelle d’installation sanitaire doit compter sur son seul travailleur pour étudier les projets, soumettre des offres de prix, réaliser les installations, tenir sa comptabilité, etc. Ses compétences ne sont certainement pas les mêmes dans l’accomplissement de toutes ces tâches. On peut raisonnablement penser qu’il est plus à l’aise dans les opérations d’installation. Si le niveau d’activité augmente à tel point qu’il peut engager un comptable pour se spécialiser dans la tenue des comptes, le travailleur utilisera son temps avec une plus grande productivité en se spécialisant dans les travaux d’installation.
Enfin, certains procédés très performants utilisant l’automation et la robotique sont conçus pour convenir à des productions de masse.
Les raisons de croissance et de décroissance des rendements d’échelle opèrent différemment d’une industrie à une autre. Dans certains secteurs les économies d’échelle sont importantes. Dans d’autres, les économies d’échelle existent au début de l’intervalle de production mais elles sont épuisées au-delà d’un certain niveau de production, laissant la place à des déséconomies d’échelle. La fonction de production présente alors l’allure suivante :

VI- Fonctions de production à court et à long termes

L’entreprise qui voudrait ajuster son niveau de production à un changement de l’environnement ne peut le faire instantanément ni librement. Par exemple, si la STEG voulait répondre à une croissance de la demande d’électricité et que ses capacités sont pleinement utilisées, il lui faudrait des années pour étudier et mettre en place les équipements nécessaires. Dans d’autres industries plus légères, telle que la restauration, il faudrait peut être moins de temps. Mais en aucun cas, l’ajustement ne peut être instantané. La période qui sépare la décision d’introduire de nouveaux équipements et leur entrée en production est appelée période de maturité. Tous les procédés de production passent par une période de maturité qui peut aller de quelques semaines ou quelques mois pour un restaurant ou un service de photocopie à quelques années pour une centrale électrique ou une usine pétrochimique.
D’un autre côté, une fois des équipements correspondant à une certaine capacité de production sont installés, on ne peut pas économiquement en démanteler la moitié s’il arrive que la demande baisse de moitié. La difficulté ou la quasi-impossibilité d’ajuster les équipements à la baisse en réponse à une contraction de la demande exprime la caractéristique d’irréversibilité du capital.
Pour tenir compte de ces difficultés d’ajustement à la hausse comme à la baisse, on place l’analyse de la production dans un cadre temporel en distinguant deux périodes. La courte période et la longue période.
Pendant la courte période, l’entreprise ne peut s’ajuster totalement à un changement d’environnement. Les facteurs qui ne peuvent s’ajuster dans la courte période sont appelés des facteurs fixes. Il s’agit essentiellement du facteur capital. Les facteurs qui au contraire peuvent s’ajuster librement dans la courte période sont appelés facteurs variables. Le travail est considéré comme un facteur variable. Ceci est évident lorsqu’on voudrait ajuster à la hausse l’utilisation du facteur travail. Mais lorsqu’il s’agit de diminuer la quantité de travail utilisé en réponse à un changement de l’environnement, la variabilité du facteur travail n’est assurée qu’en l’absence de contraintes juridiques ou autres visant la protection de l’emploi.
La fonction de production à court terme traduit la relation entre le niveau de la production et celui du (des) facteur(s) variables (s), pour un niveau donné du (des) facteur(s) fixe(s).
En regroupant les facteurs de production en deux, du capital fixe à court terme et du travail variable, la fonction de production à court terme s’écrit : y = f(K0,L) où K0 désigne le niveau du capital, L la quantité de travail utilisée et y la quantité d’output obtenue.
On admet généralement que la fonction de production à court terme passe par trois phases. Au cours de la première phase, la production augmente plus que proportionnellement par rapport au travail. Si un seul travailleur est employé, il est obligé de répartir ses efforts à réaliser des tâches diversifiées. Lorsqu’on ajoute un deuxième travailleur, chacun des deux pourra se spécialiser dans certaines tâches pour lesquelles il est mieux préparé et la production fait plus que doubler. Il arrive un moment où les gains dus à la spécialisation s’épuisent. A partir de ce point, la production augmente moins rapidement que le travail. Cette deuxième phase est donc caractérisée par des rendements marginaux décroissants du travail, contrairement à la première phase où les rendements marginaux sont croissants. Il arrive même que le capital est si intensivement utilisé, qu’un travailleur supplémentaire devient nuisible et fait diminuer la production totale. Le rendement marginal devient alors négatif.

La courbe du produit total est d’abord convexe, ensuite croissante et concave et enfin décroissan
La courbe de productivité marginale commence alors par être croissante, ensuite décroissante tout en étant positive et enfin négative.

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